Diferensial Eksak dan Tak Eksak

Diferensial Eksak dan Tak Eksak

Persamaan Diferensial Eksak

Diferensial eksak merupakan diferensial suatu fungsi yang nyata yang memenuhi syarat Euler.

Suatu persamaan diferensial dengan bentuk

M(x,y) dx + N (x,y) dy = 0 (persamaan diferensial eksak)

Jika suatu fungsi f(x,y) yang diferensial totalnya sama dengan M (x,y) dx + N (x,y) dy, yaitu (dengan meniadakan lambing x dan y)

df = M dx + N dy

Jadi diferensial total df = fx dx + fy dy  asalkan turunan parsial f menurut x dan y ada

Jadi persamaan eksak, maka

df = 0

f (x,y) = C dimana C konstan

Persamaan diferensial eksak, jika dan hanya jika

M (y) = N (x)

Dimana fungsi-fungsi M,N, dan turunan parsialnya M y  dan ,N x kontinu.






Persamaan Diferensial Tak Eksak 

Jika suatu persamaan diferensial orde satu berbentuk

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

Mempunyai sifat:

Maka PD tersebut disebut PD Tak-Eksak. Suatu PD tak eksak dapat diubah ke PD eksak dengan mengalikan persamaan dengan suatu faktor yang tepat, yang disebut faktor (integrating factor). Pada bagian sebelumnya kita telah mengenal faktor integral:untuk menyelesaikan persamaan diferensil linier order satu dalam bentuk

Faktor integral akan membawa persamaan differensial linier order satu berbentuk menjadi PD eksak. Secara umum  suatu faktor integral adalah faktor dapat mengubah persamaan differensial tak eksak menjadi persamaan tidak eksak.